角元塞瓦定理(【教学研讨】角格点问题的批量编制方法 :))

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角元塞瓦定理

本文试着提出一种通过角元塞瓦定理的逆定理及三角恒等式编制角格点问题的方法
                
1  读书 这两天继续在研读 田永海老师的《 三角形中的角格点问题 》一书,发现有些角格点问题结构非常相似,图形的角度几乎完全一样,只不过排列的顺序有所差别。此处举一例:请看书中的角格点 1 及角格点 5 :

小编在几何画板上尝试了其他两种(10-10-10-20-30-100)情形,两个图的差别很细微,要仔细分辨一下:

到这里各位可能已经想到了,① 角格点的出现有规律可循;② 角格点问题之间存在某种联系。小编今天就是要说明这件事情!

当然,它并不神秘。各位且请听小编慢慢道来,看看是否能站住脚。文章比较长,如果你对正弦定理、角元赛瓦定理及其逆定理很熟悉的话,建议直接跳到第 5 点。

2  正弦定理The Law of Sines
在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R( R 为三角形外接圆半径).

不过,待会小编要用到它的另一个形式:

也即,三角形中两条边的比 等于 它们各自所对的角的正弦值之比。

3  角元塞瓦定理没有接触过竞赛的同学未必知道它。它是解决一般角格点问题的普适方法!对于它的证明,小编要撇开常规的面积证法,直接利用正弦定理来解释角元塞瓦定理。

(附注:正弦定理和面积法本质上是一样的,正弦定理本身就来自三角形的面积公式。)

最后一行(2)式就是著名的角元塞瓦定理,它是塞瓦定理的另一种表现形式。定理中的这 6 个角除了正弦值的比例关系之外,还有另外两个隐藏关系:① 这 6 个角的和为 180°;② 它们的位置关系很像梅氏定理和塞瓦定理线段出现的规律:具有轮换形式。

( 若将(1)的三条线段理解成点 P 和 △ABC 三顶点的联线, 则同一幅图形还有另外三组角元塞瓦定理的结论:点 A 对 △PBC、点 B 对 △PCA、点 C对 △PAB。下面将说明这一点。)
值得注意的是,由于证明过程对点 P 的位置不敏感,故对于三角形平面上的所有点,塞瓦定理及角元塞瓦定理都成立。例如:若点在三角形的外部,有:

但此时,这 6 个角的和超过了 180°,为了使这 6 个角的和为 180° ,达成统一,需要将完全在三角形外部的角视为负角度:即本图中的∠PBC 和  ∠PCB,可以弥补这个缺陷。

而当点 P 与 A 、B、C 某两点共线时,分母有0出现,则需要将定理改为等积式。由于微信排版的问题,小编统一写成了比为 1 的形式。

4  角元塞瓦定理的逆定理 

证明过程省略,一般转化为面积比,再用同一法处理即可。只要确定AD、BE、CF中某两条相交,就可以排除结论中三直线互相平行的情形,也即角元塞瓦定理的逆定理一般用于证明三线共点的问题。

5  一种角格点问题的编制方法 拉拉杂杂谈了这么久,终于可以切入主题了。由于角元塞瓦定理的逆定理的存在,故可以利用三角恒等式来构造对应的角格点三角形,每个恒等式可对应 6 个角格点三角形。例如下面这道题:

由角元塞瓦定理可知有恒等式:

调整一下这些角度的组合方式,就可以得到所有关上面恒等式的不同的角格点问题:

再来一个非 10 的整数倍的角格点:
小编就画 4 种情形,其他两种情形图比较难看,不再画出。

写到这里,基本脉络就清楚了:要构造角格点问题,就必须找到对应的三角恒等式。小编猜测,不定方程:

的 所有正整数解(x、y、z、α、β、γ)对应着所有三角形内的角格点问题,而四正两负的解对应着三角形外的角格点问题。著名的 Langley 不定角原题对应的一个三角恒等式是:

上面不定方程的正整数解问题已经超出小编的能力范围了,虽然求不出所有整数解,但只要有一点三角恒等变形的知识,还是能够利用已知的角格点问题倒推出一些特殊的三角恒等式。下图是小编昨天演算了一个下午的结果:

第一个式子对应着三角形内的角格点,但是公式有点小 “缺陷” :一定得有个30° 角;第二、三个式子对应着三角形外的角格点(会有两个负角度出现)。有了这些恒等式,角格点问题的编制就非常快了!

至于上面不定方程的正整数解具体有哪些,小编不知道是否已经有前人研究过?这些整数解的个数显然是有限的,可以 通过编程把所有的角格点一一列举出来。

对于小编,角格点问题的研读真得要告一段落了。非常感谢这段时间前辈们留下来的文献和书本的引领,感谢各位老师的帮助!现在帮小盆友复习统考去啦!

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